Física

Movimiento en una dimensión

Por V. Barrios   

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Introducción
El movimiento en el mundo real, es por lo menos, tridimensional. En este estudio hay varios supuestos:
 
  1. El espacio vacío es homogéneo e isotrópico. Significa que el movimiento obedece a las mismas leyes, cualquiera que sea la dirección del movimiento. En un espacio no vacío, como la atmósfera, la materia presente altera esta condición: no es lo mismo ir en contra que a favor del viento. En las aproximaciones aquí consideradas se supondrán despreciables los efectos de la atmósfera bajo ciertas condiciones. 
     
  2. El espacio es EUCLIDIANO. Euclídes, padre de la geometría, propone un espacio de líneas rectas, donde dos rectas paralelas no se tocan nunca. Es una buena aproximación para la mayoría de los trabajos de ingeniería. Las teorías mas recientes proponen que el espacio es curvo.
     
  3. El tiempo 'fluye' uniformemente y es continuo. Un segundo tiene igual duración que el segundo siguiente. A velocidades grandes, ésto no es del todo cierto. Por fortuna, la aproximación es buena para la mayoría de las aplicaciones de ingeniería.
     

     Con estas consideraciones se puede estudiar el movimiento en el espacio como una combinación o resultante vectorial del movimiento simultáneo en tres dimensiones. De modo que con estudiar una de ellas se logran conclusiones que pueden extenderse a dos y tres dimensiones. Es lo que se denomina un espacio clásico o galileano.
    Se presenta aquí un simulador de movimiento en donde la aceleración es constante (el caso de velocidad constante corresponde a aceleración nula). Se incluye dos móviles: uno azul y uno rojo.

 

Funcionamiento del simulador
El simulador tiene las siguientes partes:
 

  • Un móvil azul y uno rojo:      Se puede arrastrar los vehículos a la posición inicial deseada, siempre u cuando la simulación esté en pausa. 

  • Una región cuadriculada. Esta región está calibrada.  Cada división representa 10m

                  
     

  • Una línea de referencia ajustable: 
                    
    Se puede 'arrastrar' con el 'ratón' hasta el lugar elegido.
     

  • Un pulsador de avance o pausa:  Pone en play/pausa la animación Al pulsarlo se ejecuta o detiene la simulación. La tecla 'p' realiza la misma función.
     

  • Un pulsador de reinicio:   Reinicia la animación. Asigna al tiempo un valor de cero y ubica los móviles en las posiciones iniciales con sus correspondientes velocidades. Tecla 'r'.
     

  • Un pulsador para modo único o cíclico:   . Permite que la simulación se repita continuamente o se muestre una sola vez. Tecla 'c'.
     

  • Un pulsador de paso a paso. . Avanza un 'paso' la simulación. Significa que el tiempo se incrementa en una cantidad  'dt' y se calcula nuevamente las posiciones y velocidades. El valor de dt es pequeño. Lo suficiente para que el desplazamiento en ese tiempo (dx) sea del orden de un metro. Pulsa la 's'.
     

  • Una tabla que muestra los valores de las variables cinemáticas.
     

  • Un panel de entrada de datos: 

El panel se hace visible cuando se pulsa sobre algunas casillas de la tabla de las variables cinemáticas. Presionando sobre la casilla de aceleración del móvil rojo, surgirá el ejemplo mostrado. Apretando la tecla de 'Si', se introduce el valor seleccionado. Caso contrario, el valor original permanece. En ambos casos, el panel desaparece.
 

  • Un panel que muestra las gráficas de posición de cada móvil en función del tiempo.
     

Metodología

Se seguirá la metodología descrita en la sección de metodología de la página principal. En el camino 'ascendente' allí descrito, es necesario familiarizarse con el fenómeno. Se hará en dos partes: una de ellas utiliza el simulador. La otra consiste en la experimentación que pueda realizar el estudiante. Es fácil, en la realidad hay bastantes casos. ATENCION: Los pasos siguientes se aplicarán seleccionando aceleración igual a cero para ambos móviles,  para estudiar movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Se fijará otro valor de aceleración para movimiento uniforme acelerado (MUA). Se trabajará primero MRU y se cubrirá todos los pasos. Luego se hará lo mismo con MUA. ¡Exito!

 

Pasos:

Observación

La primera de las etapas. Se recomienda observar el comportamiento para diferentes velocidades: grandes, pequeñas, iguales diferentes, positivas negativas. Se recomienda observar cuánto avanza cada móvil en cada segundo, cual es la curva posición tiempo que le corresponde. El propósito es captar las características del movimiento.

Descripción

Hechas las observaciones vamos dar una descripción de cada caso. Es como contarle la historia a otra persona. En el aprendizaje es muy beneficioso tratar de describir con palabras propias los objetos o fenómenos en estudio. Puede resultar difícil, pero vale la pena. Una descripción responde a preguntas como ¿Qué es?, ¿Qué tiene?, ¿Para qué sirve?.  Se observa las veces necesarias hasta responder las preguntas.  

Comparación y relación
  • Para un móvil fija unas condiciones iniciales ( p. ej vo=10m/s, xo=50m), déjalo que corra unos 500m y detén la simulación. ¿Que relación guarda el movimiento con la gráfica?.
  • Ahora con los dos móviles. Dejando el primero con las mismas condiciones iniciales fija otros valores para el segundo. (p. ej vo=20m/s, xo=0m). Reinicia, realiza la simulación y compara gráfica con gráfica, movimiento con movimiento. ¿Cuál es la gráfica del mas rápido?.  ¿Se puede saber viendo solamente las gráficas?
  • Ahora repite las condiciones del paso anterior, pero después de desplazar la línea de referencia 50m hacia la derecha.
Características esenciales

¿Cuáles son las características esenciales del movimiento rectilíneo uniforme MRU?. Utiliza la metodología aprendida en DHP: busca ejemplos y contraejemplos, establece hipótesis y luego descartas. Para ver contraejemplos de  MRU fija una aceleración cualquiera diferente de cero y realiza la simulación.

Para ver contraejemplos de  MUA utiliza los ejemplos de MRU.

Transformaciones

Del paso anterior ¿Cuáles son las características esenciales del tipo de gráfica posición-tiempo para el MRU?. ¿Reconoces el tipo de curva?. En matemáticas se dice que es una función lineal. En álgebra se le ha llamado transformación lineal de t--->x. En términos coloquiales, se puede decir 'a buen paso, el tiempo es distancia'. Claro el tiempo no es distancia, en sentido literal, pero sí cambia la distancia si nos movemos adecuadamente. Ese es el sentido de la transformación. Utiliza el mismo procedimiento luego cuando estudies MUA. Ahora la transformación corresponde a una función parabólica.

Jerarquías.

MRU: Es un movimiento en una dimensión y a velocidad constante.

MUA: Es un movimiento en una dimensión y a aceleración constante.

Tipos de movimiento y ejemplos

Cinemática

1D Velocidad constante aceleración constante aceleración variable  
  Movimiento Rectilíneo Uniforme M Uniforme Acelerado M. acelerado  
         
2D Velocidad constante aceleración constante aceleración variable eje x
Velocidad constante MRU      
aceleración constante Proyectil      
aceleración variable     M. circular  
eje y        

Análisis

Movimiento rectilíneo uniforme:

Las curvas son del tipo: x=A+Bt
A representa la ordenada en el origen y B es la pendiente de la recta. En términos físicos, cuando t=0, la posición x(0) es la inicial, que hemos llamado xo. Según la ecuación, cuando t=0; x(0)= A. O sea, A es el valor de x cuando t=0, es decir xo y se mide en unidades de longitud (metros en este caso). 
En cuanto a B; se puede determinar por dos vias: se toma un par de puntos de la recta por ejemplo (x1, t1) (xo, 0) y se calcula B=(x1-xo)/(t1-0). B se mide en m/s, que corresponde a una velocidad. Otra vía: buscando la derivada de x respecto de t, x' = B, que se definió como velocidad instantánea. Ambos resultados coinciden y B es constante. Entonces  la gráfica tiene dos parámetros: la posición inicial y la velocidad y la ecuación queda así: x= xo+vt.

Movimiento uniforme acelerado:

Las curvas son del tipo: x=A+Bt+Ct2 

    En términos físicos, cuando t=0, la posición x(0) es la inicial, que hemos llamado xo. Según la ecuación, cuando t=0; x(0)= A. O sea, A es el valor de x cuando t=0, es decir xo y se mide en unidades de longitud (metros en este caso). 
En cuanto a B; se puede determinar buscando la derivada de x respecto de t. Recordemos que se trata de la velocidad. x' = B+2Ct. Evaluando en t=0, o sea, inicialmente se tiene que:  x'(0) = B, que se definió como velocidad inicial. C por su parte se obtiene derivando dos veces. De modo que x'' = 2C. Pero x'' es la aceleración y en este caso es constante. C viene a ser entonces igual a la mitad de la aceleración. Las ecuaciones quedan entonces: x = xo+vot+(a/2)t2 ;  v=vo+at

 

  

Síntesis

MRU:

Se observa entonces que x = xo + vt en base a las consideraciones anteriores y representa la curva posición tiempo de una partícula en MRU. Además la velocidad viene a ser:
                  

Esto permite determinar la velocidad y posición inicial a partir de la curva. Por otra parte, si se conoce velocidad y posición inicial y queremos la curva correspondiente entonces:
                
Que corresponde al caso inverso. Si v es la derivada de x, entonces x es la integral de v, siendo t la variable independiente.

MUA:

Se observa entonces que v = vo + at en base a las consideraciones anteriores y representa la curva velocidad tiempo de una partícula en MUA. Además la velocidad viene a ser:
                  

Esto permite determinar la velocidad y posición inicial a partir de la curva, si observamos el valor y la pendiente iniciales. Por otra parte, si se conoce velocidad inicial, posición inicial y aceleración y queremos la curva correspondiente entonces:
                
Que corresponde al caso inverso. Si v es la derivada de x, entonces x es la integral de v, siendo t la variable independiente.

 

Repaso
Carrito Rojo Azul
x(m)    
v(m/s)    
t(s)    
xo(m)    

vo(m/s)

   
a(m/s2)    

 

Reinicia la animación

Pone en play/pausa la animación