EJEMPLO 3 (DEFINICIÓN DE PLANO PROYECTANTE DE UNA RECTA)

Dadas las rectas

MATH

a) Determinar que la recta $L_{2}$ es la recta proyección ortogonal de la recta $L_{1}$ sobre un cierto plano $\U{b6}$.

b) Obtener la ecuación del plano $\U{b6}$ donde se proyecta la recta $L_{1}$ de la parte a).

c) Obtener la ecuación del plano proyectante de la recta $L_{1}$ sobre el plano $\U{b6}$.

SOLUCIÓN:

a) Si la recta $L_{2}$ es la proyección ortogonal de la recta $L_{1}$ sobre un plano $\U{b6}$, entonces las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$ son coplanares. En efecto:

MATH

MATH

Para que las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$ sean coplanares, los vectores MATH , MATH y MATH deben ser coplanares, es decir, el producto mixto de los tres vectores debe ser cero.

El vector MATH es:

MATH

Luego,

MATH

Queda así demostrado que las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$ son coplanares.

b) El plano $\U{b6}$ donde se proyecta la recta $L_{1}$ contiene a la recta $L_{2}$ MATH entonces MATH

El plano proyectante $\U{b6}_{P}$ es perpendicular al plano $\U{b6}$ MATH entonces MATH

El plano proyectante contiene a la recta $L_{1}$ y a la recta $L_{2}$ y como MATH MATH, entonces

MATH

Luego el plano $\U{b6}$ se puede escribir por medio de su ecuación vectorial paramétrica:

MATH

Si en lugar de la ecuación vectorial paramétrica del plano $\U{b6}$ se desea escribir su ecuación general, se toma como vector normal al plano $\U{b6}$ al vector que resulta al efectuar el producto vectorial entre los vectores MATH y MATH (o cualquier vector proporcional) y como punto del plano al punto $P_{2}$.

MATH

Así, la ecuación del plano es:

MATH

MATH

MATH

c) Como el plano proyectante contiene a las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$ y los mismos no son vectores paralelos, la ecuación vectorial paramétrica de $\U{b6}_{P}$ es:

MATH

Si en lugar de la ecuación vectorial paramétrica del plano $\U{b6}_{P}$ se desea escribir su ecuación general, en la parte b) se determinó que el vector normal al plano proyectante es:

MATH

Entonces la ecuación general de $\U{b6}_{P}$ se escribe como:

MATH

MATH

MATH

REPRESENTACIÓN GRÁFICA