5.2.- FAMILIA DE PLANOS.

5.2.1.- FAMILIA DE PLANOS QUE CONTIENEN LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS.

Recuerde que una recta queda definida si se conocen:

  1. Dos puntos $A$ y $B$

  2. Un punto $A$ y una dirección $\overrightarrow{L}$

  3. Dos planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ no paralelos MATH

 

En la figura se observa como puede trazarse otro plano $\pi_{3}$ no paralelo a $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ que contenga a la recta $L$.

Rote el plano azul en torno a la recta L; tomándolo por su punto a través del ratón.

Observe que de esta manera se pueden seguir añadiendo planos distintos, con la condición que contenga a la recta $L$ y además esto puede hacerse infinitas veces (condición geométrica que distingue la familia de planos que contienen a la intersección de dos planos dados).

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El conjunto formado por todos los planos que contienen a una recta $L$ se denomina familia de planos que contienen a la intersección de dos planos dados.

Ya que la recta $L$ está contenida en cada uno de los planos de la familia, resulta que el vector director de la recta es perpendicular a la normal de cada uno de ellos, es decir, si

MATH
y
; con $i\in N$

entonces

$\overrightarrow{L}$ $\bot$ MATH $\ ,\forall$ $i\in N$

Por lo tanto, los vectores normales a cada uno de los planos de la familia son coplanares.

Sean MATH y MATH las normales de dos planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$, no paralelos, que pertenezcan a la familia de planos que contienen a $L$. Si $\pi_{3}$ pertenece a la familia de planos que contienen a $L$, entonces su vector normal MATH se puede expresar como combinación lineal de los vectores MATH y MATH, esto es, existen escalares $\alpha,\beta\in R$ tales que:

MATH

En general, el vector MATH de cualquier plano $\pi_{1}$ de la familia se puede expresar como:

MATH , MATH y $i\in N$ (1)

así, si

MATH

sustituyendo la ecuación (1) en la última ecuación resulta que:

MATH

Desarrollando tenemos que:

MATH

dividiendo entre $\alpha_{i}$ MATH

MATH

por lo tanto, cualquier plano $\pi_{i}$ MATH de la familia de planos que contienen a la recta intersección de dos planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ viene dado por la ecuación:

 

MATH (2)

EJEMPLO