LA ECUACIÓN DEL COHETE

 

Prof. Omar Contreras

 

Consideremos un cohete de masa M (Incluye su combustible), que en el instante de tiempo t, lleva una velocidad V, ha expulsado una masa m de gases  ( M + m = M0 ) y que en un instante posterior dt, ha expulsado una cantidad de masa dm y por ende aumenta su velocidad en dV. La velocidad de expulsión Ve, vista desde tierra, puede ser positiva o negativa dependiendo de la velocidad del cohete:

Consideremos primero el caso en que las fuerzas externas son cero y por lo tanto se conserva el momento lineal total entre los instantes t y t + dt:

M V = ( M – dm ) ( V + dV ) + dm Ve.

Esta ecuación, despreciando diferenciales de segundo orden, conduce a:

                                          M dV – ( V – Ve ) dm = 0.                              (1)

Un parámetro importante que depende solamente de las condiciones del motor del cohete es la velocidad de expulsión de los gases respecto al cohete y no respecto a tierra: Ue. Como en todos los problemas de velocidad relativa debemos identificar cada término de la ecuación V = U + V’, para lo cual llenaremos las siguientes dos tablas:

 

SISTEMA FIJO

Tierra

SISTEMA MÓVIL

Cohete

PARTÍCULA

Gases expulsados

 

 

U

VELOCIDAD DE

EL SIST. MÓVIL

RESPECTO A

EL SIST. FIJO

 

 

EL COHETE

LA TIERRA

V

V

VELOCIDAD DE

LA PARTÍCULA

RESPECTO A

EL SIST. FIJO

 

 

LOS GASES EXP.

LA TIERRA

Ve

V’

VELOCIDAD DE

LA PARTÍCULA

RESPECTO A

EL SIST. MÓVIL

 

 

LOS GASES EXP.

EL COHETE

Ue

 

De esta manera la ecuación de la velocidad relativa ( V = U + V’ ) se transforma en: Ve = V + Ue.


 

En esta ecuación la velocidad de los gases expulsados respecto al cohete Ue, siempre es negativa, por lo tanto, por comodidad escribiremos su signo explícitamente en la ecuación y consideraremos Ue como un valor positivo:

 

Ve = V – Ue.

 

Quedando la ecuación (1):

M d V – Ue dm = 0.

 

Adicionalmente, como todo aumento en la masa de los gases expulsados es a expensas de la masa del cohete, se debe cumplir que:

 

dm = - d M.

 

( Equivalentemente podemos decir que como M0 es constante: d M + d m = 0.)

Obteniendo finalmente:

                                              M d V + Ue d M = 0.                                  (2)

O, separando variables:

.

Integrando esta ecuación desde el instante inicial, obtenemos la velocidad del cohete:

.

 

Como la masa inicial es mayor que la masa en el tiempo t, la velocidad en t es mayor que la inicial.

 

Si ahora consideramos que existen fuerzas externas actuando sobre todo el sistema (gravedad, roce viscoso, etc.), tenemos:

,

donde la variación del momento lineal total está dada por la ecuación (2):

.

El primer término de esta ecuación es la masa del cohete por su aceleración aC, y el segundo se conoce como Fuerza de Empuje FE, obteniendo:

M aC = FEXT + FE,

donde:

.

 

Como el cohete va perdiendo masa,  es menor que cero y la Fuerza de Empuje es positiva.